ریاضی‌دان معروف مایکل عطیه Michael Atiyah مدعی شده که فرضیه مطرح شده از طرف ریمان در سال 1859 (در حدود 160 سال پیش) رو تونسته به روشی ساده به اثبات برسونه. newscientist

این مساله جز یکی از 7 مساله مطرح شده در سال 2000 از یکی از نهادهای مهم ریاضی به نام موسسه ریاضیات کِلِی هست که برای حل آن جایزه 1 میلیون دلاری در نظر گرفته شده است.

فرضیه ریمان در مورد تابعی هست که تابع زتا ریمان نامیده می‌شود و در مورد حدسی هست که او در مورد مکان صفرهای این تابع زده است.

اهمیت مکان این صفرها به این خاطر هست که می‌تواند اطلاعات زیادی در مورد سری اعداد اول و الگوی قرارگیری آن‌ها بدهد.

همچنین حل شدن این مساله باعث تایید شدن بسیاری از مسائل حل ‌شده‌ای در ریاضیات می‌شه که با فرض درست بودن حدس ریمان حل شده‌اند.

برای خودم جالبه که این آدم با 90 سال سن هنوز آدمی بسیار هوشیار و تاثیرگذار هست و انگیزه‌ی خودش رو برای انجام کارهای علمی اون هم در این حد و اندازه از دست نداده. ادعای حل چنین مساله‌ای اگر از طرف هر کس دیگه‌ای مطرح می‌شد شاید چندان جدی گرفته نمی‌شد ولی ریاضی‌دان بزرگی مثل مایکل عطیه رو نمی‌شه جدی نگرفت.

قرار هست که فردا دوشنبه 2 مهر 1397 (24 سپتامبر 2018) در ساعت 10:30 صبح در کنفرانسی که در دانشگاه هایدلبرگ آلمان برگزار می‌شه این اثبات مطرح بشه. Heidelberg Laureate Forum

من تخصصی در ریاضیات ندارم و در ادامه مطلب در صورت تمایل می‌تونید دست و پا زدن من برای فهمیدن حدس ریمان رو ببینید که اگر حتی منجر به درک من نشده باشه ولی بهم یاد داد که چگونه فرمول‌های ریاضی رو در بلاگ بنویسم. 


حدس ریمان در مورد تابعی هست که به تابع زتا ریمان مشهور است.

تابع زتا ریمان به صورت زیر تعریف می‌شه:

این تابع برای مقادیر حقیقی s و ‌بزرگ‌تر از 1 تعریف می‌شود و n هم عدد طبیعی است. مثلا اگر s را برابر 2 در نظر بگیریم مقدار تابع به 1.645 همگرا خواهد بود:

یا اینکه برای s=3 به 1.202 همگرا و برای s=4 به 1.082 همگرا می‌شود.

برنارد ریمان که یکی از بنیان‌گذاران آنالیز اعداد مختلط است راجع به این موضوع فکر کرد که چه می‌شود اگر به جای s عددی مختلط را جایگزین کنیم مثل 2+i. یعنی بیایم مقدار زیر را محاسبه کنیم:

زتا ریمان

تاثیر اعداد مختلط چرخاندن (بردارها) می‌باشد. بنابراین مثل این است که ما هر یک از مقادیر را چرخانده‌ایم و سپس آن‌ها را با هم جمع کرده‌ایم که باعث می‌شود نتیجه نهایی یک مقدار در صفحه اعداد مختلط شود. ولی تاثیری بر همگرایی تابع نخواهد گذاشت.

زتا ریمان

این به معناست که تابع هنوز برای مقادیر حقیقی بزرگ‌تر از یک همگرا است. اما با تبدیل مقادیر تابع از مقادیر حقیقی به مختلط و انجام کمی تغییر (که من سوادش رو ندارم) می‌توان این تابع را برای کل دامنه‌ی اعداد حقیقی تعریف کرد. چنین تبدیلی اگر وجود داشته باشد یگانه است. علت این است که تابع زتا ریمان یک تابع تحلیلی هست (مشتق‌پذیر بودن یکی از ویژگی‌های توابع تحلیلی هست) و اگر بخواهیم بعد از تبدیل هم تحلیلی بماند تنها فقط یک روش برای این کار وجود خواهد داشت چنین مفهومی را "پیوستگی تحلیلی" می‌گویند. پس از تبدیل، برای مثال مقدار تابع در 1- به 0.083- همگرا خواهد بود. در صورتی که قبل از انجام چنین تبدیلی مقدار تابع به بی‌نهایت میل می‌کرد.

پس از چنین تبدیلی تابع زتا ریمان چنین شکلی خواهد داشت:

تبدیل شده تابع زتا ریمان

یافتن صفرهای این تابع همان سوال 1 میلیون دلاری است. در واقع چه مقادیری را به جای s می‌توانیم جایگزین کنیم که مقدار تابع به ازای آن صفر شود؟ این تابع به ازای مقادیر زوج حقیقی منفی یعنی -2، -4، -6، ... مقداری برابر صفر خواهد داشت که به آن‌ها صفرهای بدیهی می‌گویند. همچنین می‌توان نشان داد که اگر مقدار دیگری وجود داشته باشد که بتواند این تابع را صفر کند باید مقدار حقیقی آن بین 0 و 1 باشد یعنی در ناحیه Critical Strip در تصویر پایین.

حدس ریمان این است که تمامی صفرهای دیگر (غیربدیهی) روی خطی قرار می‌گیرند که مقدار حقیقی آن برابر 0.5 است. هر کسی بتواند نشان دهد که حدس ریمان درست بوده است یا بتواند مثال نقضی پیدا کند که نشان دهد حدس ریمان غلط بوده است مساله را حل کرده است.

صفرهای زتا ریمان

حدس ریمان برای اولین بار در مقاله‌ا‌ی کوتاهی از او در سال 1859 مطرح شده است. On the number of prime numbers less than a given quantity

چطور فرمول‌های ریاضی رو در وبلاگ بنویسیم؟

این‌ها رو در جستجوی یکی دو روزه بهشون رسیدم. احتمالا راه‌های خیلی بهتر و ساده‌تری هم وجود داشته باشه.

روش اول (آسان‌تر) - 

خودم از این روش برای نوشتن فرمول‌ها استفاده کردم. در این روش شما فرمول را در یک ویرایشگر آنلاین می‌نوسید. مثلا در سایت codecogs.com و وقتی فرمول رو ایجاد کردید می‌تونید لینکی را دریافت کنید و آن لینک را به صورت عکس در وبلاگ خود وارد کنید تا فرمول ایجاد شده رو در وبلاگ ببینید. در این سایت شما فرمول را با کمک کارکترهای گرافیکی به فرمتLaTeX می‌تونید بنویسید،  و سپس در قسمت پایین سایت می‌تونید با انتخاب گزینه URL، لینک مربوط به فرمول نوشته شده رو دریافت کنید و سپس با قرار دادن لینک فرمول مورد نظر آن را به صورت تصویر در وبلاگ خود اضافه کنید.

وقتی فرمول را می‌نویسید فرمت‌های مختلفی را می‌تونید انتخاب کنید مثل gif،png، pdf، swf، emf، و svg که هر کدوم از این‌ها قابلیت‌های متفاوتی دارند. ولی به نظرم برای نوشتن فرمول در وبلاگ فرمت svg بهترین کیفیت را دارد.

روش دوم (حرفه‌ای‌تر با آزادی عمل بیشتر) 

می‌توانیم فرمول‌های ریاضی را با زبان Latex یا Plain Tex بنویسیم و سپس با استفاده از تبدیلی آن را به فرمتی در بیاوریم که برای وبلاگ که به زبان HTML  است قابل فهم باشد. در تبدیل مستقیم فرمت LaTeX به HTML ممکن هست ایراداتی به وجود بیاد برای همین بهتره که فرمت LaTeX رو اول به فرمت MathML در بیاوریم و سپس آن را وارد HTML کنیم.

چطور به زبان LaTeX فرمول‌های ریاضی را بنویسیم؟ 

1. می‌توانیم از سایت‌هایی که امکان نوشتن فرمول‌ها به طور گرافیکی را ایجاد کرده‌اند استفاده کنیم و همزمان در هنگام نوشتن کد LaTeX آن را هم ببینیم. مثل سایت: hostmath

2. می‌تونیم از نرم‌افزار MathType استفاده کنیم. کافی است بعد از اینکه فرمولی را در این نرم‌افزار نوشتیم به قسمت "Preferences" بریم و گزینه "Cut and Copy Preferences" را انتخاب کنیم که پنجره‌ای به شکل زیر باز می‌شود:

کپی کردن از MathType برای LaTeX

کافی است که گزینه دوم یعنی "MathML or TeX" را انتخاب کنیم (و دو تیک زیر این گزینه رو هم بر می‌داریم) و از لیست انتخابی گزینه "LaTeX 2.09 and Later" یا گزینه“Plain Tex” را انتخاب کنیم.

با انجام این کار شما تنظیمات مربوط به کپی و برش رو تغییر داده‌اید. حالا با انتخاب فرمولی که نوشته‌اید و کپی گرفتن از آن کد LaTeX کپی می‌شود. همچنین به طور مشابه می‌توانید کد MathML را هم به دست آورید.

3. به صورت دستی بنویسید که با کمی تمرین می‌شه دید کار سختی نیست.

مثلا برای تابع زتا ریمان:

تابع زتا ریمان

به فرم LaTeX از سایت hostmath به شکل زیر است:

{xi(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s\

یا با استفاده از MathType به شکل زیر است:

 $\xi (s) = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{s^2}}}} $

حالا باید کاری کنیم که این کد برای بلاگ و زبان HTML قابل فهم شود. با جستجوی کلی و چند ساعته اینطور به نظر میاد که بهترین روش برای این کار استفاده از امکانات سایت mathjax است.

http://docs.mathjax.org/en/latest/start.html

شما کافی هست که دستور زیر (هایلایت سبز) را در قسمت <head> کد HTML خود وارد کنید:

<head>

<script type="text/javascript" async src="path-to-MathJax/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>

<head/>

با وارد کردن این کد صفحات HTML می‌توانند فرمول‌های ریاضی که در قسمت<body> و به فرمت‌های مختلف مثل MathML یا LaTeX یا فرمت‌های دیگه نوشته می‌شند رو بشناسند. البته خودم با فرمت LaTeX جواب نگرفتم.

چطور فرمول‌ها را به فرمت MathML بنویسیم؟

1. بیشتر ابزارهای آنلاین که فرمول‌های ریاضی را ایجاد می‌کنند، خودشان فرمت MathML را هم ایجاد می‌کنند. مثلا در سایت hostmath هر فرمولی را که بنویسید می‌توانید فرمت MathML آن را هم مشاهده کنید. 

2. در نرم‌افزار MathType می‌توانید با رفتن در قسمت "Preferences"  و رفتن در قسمت " Cut and Copy Preferences " و با انتخاب گزینه "MathML or TeX" و انتخاب گزینه  "MathML 2.0 (no namespace)" و کپی گرفتن از فرمول ایجاد شده فرمت MathML را بدست آورید.

3. همچنین از سایت Mathjax هم می‌توانید استفاده کنید. وقتی فرمولی را بنویسید با راست کلیک روی اون فرمول می‌تونید فرمت MathML رو هم به دست بیارید.

بنابراین برای نوشتن تابع زتا ریمان کافی است که کد MathML را در قسمت<body> وارد کنیم. البته باید در قسمت <head> دستوری (هایلایت سبز) رو وارد کنیم تا فرمت MathML قابل خواندن باشد. قسمت هایلایت زرد، فرمول ریاضی به فرمت MathML هست که اگر خودتون از این کد استفاده کنید می‌تونید فرمول ایجاد شده رو در صفحات HTML ببینید.  

<html>

<head>

<script type="text/javascript" async

  src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.5/latest.js?config=TeX-MML-AM_CHTML">

</script>

</head>

    <body>

<math>

 <mrow>

  <mi>&#x03BE;</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>s</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mstyle displaystyle='true'>

   <munderover>

    <mo>&#x2211;</mo>

    <mrow>

     <mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>

    <mi>&#x221E;</mi>

   </munderover>

   <mrow>

    <mfrac>

     <mn>1</mn>

     <mrow>

      <msup>

       <mi>n</mi>

       <mn>s</mn>

      </msup>

      </mrow>

    </mfrac>

    </mrow>

  </mstyle></mrow>

</math>

    </body>

</html>

قاعدتا اگر در قسمت زرد رنگ کد LaTeX را هم وارد کنید باید قابل اجرا باشه ولی خیلی بستگی به دستوری داره که در قسمت <head> وارد می‌کنید. ممکنه روی مرورگر شما قابل استفاده باشه ولی روی مرورگر من اینطور نباشه. دستوری که در قسمت سبز رنگ نوشته شده است به شکل‌های مختلفی در سایت mathjax نوشته شده است. اگر قابل استفاده نیست احتمالا باید تغییراتی در این قسمت اجرا کنید.

خودم روی بلاگ با استفاده از این روش مشکل داشتم و دلیلش رو متوجه نمی‌شم؟ یعنی وقتی از این روش استفاده می‌کنم فرمول به صورت یک خطی در میاد که فکر می‌کنم بیشتر مشکل مربوط به mihanblog باشه، البته مطمئن نیستم. چون به طور مستقل اگر یک فایل html ایجاد کنم فرمول به درستی به نمایش در میاد. برای همین هم برای نوشتن فرمول‌ها از روش اول استفاده کردم.

پ.ن: در شبکه یوتیوب 3Blue1Brown می‌تونید راجع به تابع زتا ریمان یک ویدئو خوب با عنوان "Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation" را ببینید.